机器人坐标齐次变换

教学目的及要求

掌握旋转和平移的齐次变换

教学重点与难点

重点：平移和旋转齐次变换

难点：平移和旋转齐次变换

主要教学方法与手段

讲授法、启发互动式

教学内容

教学过程与设计备注

一、复习提问

齐次坐标的表示方法以及坐标的移动和旋转的公式？

二、引入新课

对于一个刚体的位姿描述是需要表示其位置和方向，如果用3×4矩阵无法进行描述，因此需要引入4×4齐次矩阵，用其变换进行描述坐标的姿态变换。

三、讲授新课

3.2 齐次变换

3.2.1 齐次变换矩阵

对于位姿的复合变换可用 表示。

将一个矢量描述从一个坐标系变换到另一个坐标系。采用是4×4的方阵，称为齐次变换矩阵；综合地表示了平移变换和旋转变换。用矩阵形式表示上式：

例1： 已知坐标系{B}，它绕坐标系{A}的z轴旋转 ，沿xA平移12个单位，再沿yA平移6个单位。已知 ，用齐次变换法求。

3.2.2 平移的齐次变换

算子左右乘规则

若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。

例2：坐标系F沿参考坐标系的X轴移动2个单位，沿y轴移动7个单位，沿Z轴移动5个单位。求新的坐标系位置。其中

3.2.3 旋转的齐次变换

点A（x，y，z）绕Z 轴旋转θ角后至A′（x′，y′，z′），A与A′之间的关系为：

也可简写为a′=Rot（z，θ）a

（1）点在空间直角坐标系中绕坐标轴的旋转变换

例3：坐标系绕Z轴转90度后，再绕X轴转60度，求矢量U=6i+7j+2k的原矢量坐标。

（2）点在空间直角坐标系中绕过原点任意轴一般旋转变换

3.2.3 复合变换

平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中，称为复合变换。

例4：已知坐标系中U的位置矢量u= [7 3 2 1]T，将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°后得到点W，点W再作4i-3j+7k的平移得到E点，求变换后所得的点E的列阵表达式。

四、巩固练习

练习：固连在刚体的坐标系上的点 u=5i+2j+3k，将u绕参考坐标系x轴旋转90°得到点v，再将点v绕参考坐标系y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标；在此基础上再平移（5，-4，7）得到f。

五、小结

1. 平移齐次变换

2. 旋转齐次变换

3. 复合变换

六、课后作业

P84页 坐标变换类型题、3.2、3.6。

复习提问以及互动探究了解并接受新知识 5分钟

讲授齐次变换矩阵的定义及运用方法 15分钟

讲授平移齐次变换及方法15分钟

讲授旋转的齐次变换及运用方法25分钟

讲授复合变换20分钟

实例进行巩固练习15分钟

课堂小结及作业布置

5分钟

七、板书设计

第3章 机器人运动学

3.2 齐次变换

3.2 齐次变换

3.2.1 齐次变换矩阵

对于可以变成齐次表示。

例1：解

代入齐次变换式可得：

3.2.2 平移的齐次变换

算子左右乘规则：相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；相对动坐标系进行变换，则算子右乘。

例2：解

3.2.3 旋转的齐次变换

1. 旋转齐次坐标变换

点A（x，y，z）绕Z 轴旋转θ角后至A′（x′，y′，z′），A与A′之间的关系为：

也可简写为a′=Rot（z，θ）a

例3：解

2. 通用旋转变换

3.2.3 复合变换

例4：解

练习题：

小结

1. 平移齐次变换

2. 旋转齐次变换

3. 复合变换

参考资料

1.刘极峰.机器人技术基础[M]（第三版）.北京:高等教育出版社,2019.

2. 蔡自兴.机器人学基础[M]（第二版）.北京:机械工业出版社,2015.

教学反思